Prímszámok: mi a prímszám, és miért nem prím az 1?

A prímszámok, más néven törzsszámok, azok az 1-nél nagyobb természetes számok, amelyeknek pontosan két osztójuk van: az 1 és önmaguk. 100-ig 25 prímszám van: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 és 97. Az 1 nem prímszám, mert csak egy osztója van, a 2 pedig az egyetlen páros prímszám.

Azokat az 1-nél nagyobb számokat, amelyek nem prímek, összetett számoknak nevezzük, mert felírhatók kisebb számok szorzataként: a 12 = 2 · 2 · 3. Az 1 se nem prím, se nem összetett szám. Ezen az oldalon megtalálod a prímszámokat 100-ig és 1000-ig, megmutatjuk, hogyan döntheted el egy számról, hogy prím-e, és azt is, miért van belőlük végtelen sok.

Prímszámok 100-ig

Tartomány	Prímszámok	Darab
1–10	2, 3, 5, 7	4
11–20	11, 13, 17, 19	4
21–30	23, 29	2
31–40	31, 37	2
41–50	41, 43, 47	3
51–60	53, 59	2
61–70	61, 67	2
71–80	71, 73, 79	3
81–90	83, 89	2
91–100	97	1
1–100	összesen	25

A táblázatból látszik, hogy az egyjegyű prímszámok a 2, a 3, az 5 és a 7. A 10 fölött minden prímszám 1-re, 3-ra, 7-re vagy 9-re végződik, mert a páros számok oszthatók 2-vel, az 5-re végződők pedig 5-tel.

Prímszámok 1000-ig

Tartomány	Prímszámok	Darab
101–200	101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199	21
201–300	211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293	16
301–400	307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397	16
401–500	401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499	17
501–600	503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599	14
601–700	601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691	16
701–800	701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797	14
801–900	809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887	15
901–1000	907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997	14
1–1000	összesen (a 100 alatti 25-tel együtt)	168

Minél nagyobb számokat nézünk, annál ritkábbak a prímek: az első százban 25, az utolsó százban, 901 és 1000 között már csak 14 van. 10 000-ig összesen 1229 prímszámot találunk.

Miért nem prímszám az 1?

A legegyszerűbb válasz a definícióból jön: a prímszámnak pontosan két különböző osztója van, az 1-nek viszont csak egy, önmaga. A mélyebb ok a számelmélet alaptétele, amely szerint minden 1-nél nagyobb egész szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyféleképpen bontható fel prímszámok szorzatára. A 12 például csak így: 2 · 2 · 3. Ha az 1 prím lenne, a felbontás nem lenne egyértelmű, hiszen 12 = 1 · 2 · 2 · 3 = 1 · 1 · 2 · 2 · 3, és így tovább a végtelenségig.

Ez a megállapodás nem volt mindig magától értetődő. Christian Goldbach a 18. század közepén még prímszámnak tekintette az 1-et, Leonhard Euler már nem. A matematikusok a 20. század elejére egyeztek meg abban, hogy az 1 nem prímszám.

És a 0 meg a 2?

A 0 sem prímszám: a definíció csak az 1-nél nagyobb számokra vonatkozik, ráadásul a 0 minden pozitív egész számmal osztható. A 2 viszont prím, sőt az egyetlen páros prímszám, mert minden más páros szám osztható 2-vel, tehát a 2 legalább egy harmadik osztója.

Hogyan dönthető el, hogy egy szám prím-e?

A legbiztosabb módszer a próbaosztás. Elég azokat a prímszámokat kipróbálni osztóként, amelyek nem nagyobbak a szám négyzetgyökénél. Ha egy szám összetett, akkor az egyik tényezője biztosan nem nagyobb a négyzetgyökénél, így ha addig nem találunk osztót, nagyobbat sem fogunk.

Néhány oszthatósági szabály gyorsítja a munkát:

2-vel osztható, ha az utolsó számjegye páros.
3-mal osztható, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal: a 261 számjegyeinek összege 9, tehát 261 = 3 · 87.
5-tel osztható, ha 0-ra vagy 5-re végződik.
11-gyel osztható, ha a számjegyek váltakozó előjelű összege osztható 11-gyel: a 121-nél 1 − 2 + 1 = 0, tehát 121 = 11 · 11.

Nézzük a 91-et. A négyzetgyöke 9 és 10 közé esik, így a 2-t, a 3-at, az 5-öt és a 7-et kell kipróbálni. A 2, a 3 és az 5 nem osztója, a 7 viszont igen: 91 = 7 · 13, tehát a 91 nem prím. A 97-nél ugyanez a négy próba mind sikertelen, ezért a 97 prímszám.

Az eratoszthenészi szita

Ha egy adott határig az összes prímszámot meg akarod találni, a legrégebbi ismert módszer az eratoszthenészi szita. Írd fel a számokat 2-től például 100-ig. A 2 prím, karikázd be, és húzd ki az összes többszörösét. A következő ki nem húzott szám a 3, ezt is karikázd be, és húzd ki a többszöröseit. Ugyanígy folytasd az 5-tel és a 7-tel. A 11-nél már megállhatsz, mert a 11 · 11 = 121 nagyobb, mint 100. Ami a végén kihúzatlanul marad, az mind prímszám.

A módszer Eratoszthenész nevét viseli, aki az i. e. 3. században élt, és az alexandriai könyvtár vezetője volt. Nemcsak a szitájáról ismert: meglepően pontosan megmérte a Föld kerületét is.

Végtelen sok prímszám van

Azt, hogy a prímszámok sora soha nem ér véget, már Eukleidész bebizonyította az i. e. 300 körül írt Elemekben. A gondolatmenet egyszerű: tegyük fel, hogy ismerjük az összes prímet. Szorozzuk össze őket, és adjunk hozzá 1-et. Az így kapott szám egyik ismert prímmel sem osztható, mert mindegyikkel osztva 1 a maradék. Ezért vagy ő maga prím, vagy van olyan prímosztója, amely nem szerepelt a listán. Bármilyen véges listából indulunk, mindig hiányzik belőle legalább egy prím.

Egy apró csapda: a kapott szám nem mindig prím. A 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30 031 például 59 · 509, de az 59 és az 509 sem szerepelt a kiinduló listán, tehát a bizonyítás így is működik.

A legnagyobb ismert prímszám

A GIMPS nevű nemzetközi önkéntes számítási projekt listája szerint a legnagyobb ismert prímszám a 2^{136 279 841} − 1. Ez egy 41 024 320 jegyű szám, amelyet Luke Durant talált meg 2024. október 12-én. Az ilyen, 2 hatványánál eggyel kisebb prímeket Mersenne-prímeknek nevezzük, és a GIMPS eddig 52-t tart nyilván belőlük.

Megoldatlan kérdések: ikerprímek és a Goldbach-sejtés

A prímszámokról sok egyszerűen megfogalmazható kérdés máig megoldatlan. Az ikerprímek olyan prímpárok, amelyek különbsége 2. 100-ig nyolc ilyen pár van: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13, 17 és 19, 29 és 31, 41 és 43, 59 és 61, 71 és 73. Azt sejtik, hogy végtelen sok ikerprím van, de ezt senki nem bizonyította be.

A Goldbach-sejtés 1742-ből származik: eszerint minden 2-nél nagyobb páros szám felírható két prímszám összegeként. A 10 = 3 + 7 = 5 + 5, a 100 pedig hatféleképpen is: 3 + 97, 11 + 89, 17 + 83, 29 + 71, 41 + 59 és 47 + 53. Számítógéppel óriási számokig ellenőrizték, általános bizonyítása azonban máig nincs.

Mire jók a prímszámok?

A prímszámok nemcsak fejtörőkben fontosak. Az interneten használt titkosítások egy része, például az RSA, arra épül, hogy két nagy prímszámot könnyű összeszorozni, a szorzatukat viszont nagyon nehéz visszabontani a két prímre. Amikor egy bankkártyás fizetésnél vagy egy biztonságos weboldalon titkosított kapcsolat jön létre, a háttérben sokszor ilyen számok dolgoznak.

Gyakori hibák

Az 1 prímszám: nem az, mert csak egy osztója van.
A 2 nem prím, mert páros: a 2 prím, ráadásul az egyetlen páros prím.
Minden páratlan szám prím: a 9, a 15, a 21 és a 27 is páratlan, mégis összetett.
A „prímnek látszó” számok: az 51 = 3 · 17, az 57 = 3 · 19 és a 91 = 7 · 13. A legenda szerint Alexander Grothendieck, a 20. század egyik legnagyobb matematikusa egyszer az 57-et hozta fel egy prím példájaként, ezért tréfásan Grothendieck-prímnek is nevezik.

Teszteld magad

Matek kvíz: Kisujjból rázod ki a prímszámokat? Mutasd, mit tudsz!

Gyakori kérdések

Az 1 prímszám-e? Nem. A prímszámnak pontosan két osztója van, az 1-nek csak egy.

Melyek a legelső prímszámok 1 és 100 között? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, összesen 25 darab.

Melyek az egyjegyű prímszámok? A 2, a 3, az 5 és a 7.

Melyek az 1000-ig terjedő prímszámok? 1000-ig 168 prímszám van, a teljes listát a fenti táblázatban találod.

A 0 prímszám? Nem, mert a prímszámok 1-nél nagyobbak, és a 0 minden pozitív egésszel osztható.

Mi a legkisebb prímszám? A 2.

Mi a legnagyobb ismert prímszám? A 2^{136 279 841} − 1, egy 41 024 320 jegyű szám, 2024 októbere óta.

Hogyan számoljuk ki, hogy egy szám prím-e? Próbáld ki osztóként a négyzetgyökénél nem nagyobb prímeket. Ha egyik sem osztója, a szám prím.

Kapcsolódó feladatok és oldalak

További matekos tudnivalók a Matek rovatban: Műveleti sorrend, Faktoriális, Nullával való szorzás és osztás, Római számok.

Források

Írta: Popovics Ádám · Utoljára ellenőrizve: 2026. október 22.

Ne maradj le a kvízeinkről!

Elsők között a Google-ben Állítsd be egy kattintással Értesítés új kvízről A Google app szól