Nullával való szorzás és osztás: miért nem lehet nullával osztani?

A nullával való szorzás eredménye mindig nulla: 5 · 0 = 0 és 0 · 5 = 0. Nullával osztani viszont nem lehet, ez a művelet nincs értelmezve: az 5 : 0-nak nincs eredménye, a 0 : 5 viszont 0. A feladványokban a legtöbben ott hibáznak, hogy a nullát az egész kifejezésre alkalmazzák, pedig csak arra a szorzatra vonatkozik, amelyben szerepel: 2 + 2 + 2 + 2 · 0 = 6, és nem 0.

Ezen az oldalon sorra vesszük, miért nulla a nullával való szorzás, miért nem lehet nullával osztani, mi a helyzet a 0 : 0-val, és mit csinál ilyenkor a számológép vagy az Excel. A végén a gyakori kérdésekre is röviden válaszolunk.

A nulla szabályai egy táblázatban

MűveletPéldaEredmény
Szám + 07 + 07
Szám − 07 − 07
0 − szám0 − 7−7
Szám · 07 · 00
0 · szám0 · 70
0 : szám0 : 70
Szám : 07 : 0nincs értelmezve
0 : 00 : 0nincs értelmezve

Miért nulla a nullával való szorzás?

A szorzás ismételt összeadás: a 3 · 4 azt jelenti, hogy háromszor veszünk négyet, vagyis 4 + 4 + 4 = 12. Ha nullaszor veszünk valamit, nem veszünk semmit, így az eredmény 0. Ugyanígy, ha háromszor veszünk nullát, 0 + 0 + 0 = 0. Egy hétköznapi példával: ha egy dobozban 12 tojás van, és nulla dobozt veszünk, nulla tojásunk lesz.

A matematikában ezt nem csak elfogadjuk, hanem be is lehet látni. A 0 + 0 = 0, ezért bármely a számra a · 0 = a · (0 + 0). A zárójelet felbontva a · 0 = a · 0 + a · 0. Ha mindkét oldalból kivonjuk az a · 0-t, azt kapjuk, hogy 0 = a · 0. Mivel a szorzás tényezői felcserélhetők, a 0 · a is 0.

A csapda: a nulla csak a saját szorzatát nullázza ki

A nullás feladványok azért terjednek, mert sokan megjegyzik az egyszerű szabályt: ha van benne nulla, az eredmény nulla. Ez csak akkor igaz, ha az egész kifejezés egyetlen szorzat. Ha a sorban összeadás vagy kivonás is van, a műveleti sorrend szerint a szorzást végezzük el először, és a nulla csak annak a szorzatnak az értékét teszi nullává, amelyben szerepel.

  • 2 + 2 + 2 + 2 · 0 = 6: előbb 2 · 0 = 0, utána 2 + 2 + 2 + 0 = 6.
  • 4 · 0 + 4 = 4: előbb 4 · 0 = 0, utána 0 + 4 = 4.
  • 4 · 0 · 4 = 0: itt az egész kifejezés egy szorzat, ezért valóban 0.
  • 10 − 3 · 0 = 10, de (10 − 3) · 0 = 0: a zárójel az egész különbséget a szorzat részévé teszi.

A szabályt részletesen a Műveleti sorrend oldalon magyarázzuk el, a hasonló feladványokat pedig a Vírusos matekfeladványok oldalon gyűjtöttük össze.

Miért nem lehet nullával osztani?

Az osztás a szorzás fordítottja. A hányados azt mutatja meg, hogy az osztó hányszor van meg az osztandóban: a 20 : 5 = 4, mert 4 · 5 = 20. Minden osztást így lehet ellenőrizni: a hányadost megszorozzuk az osztóval, és vissza kell kapnunk az osztandót.

Próbáljuk ki ezt a 6 : 0-val. Olyan számot keresünk, amelyet nullával megszorozva 6-ot kapunk. Ilyen szám nincs, hiszen bármit szorzunk nullával, az eredmény mindig 0. A 6 : 0-nak tehát nincs eredménye, ezért mondjuk, hogy a nullával való osztás nincs értelmezve.

Fordítva viszont nincs gond: a 0 : 7 = 0, mert 0 · 7 = 0. Nullát bármilyen nem nulla számmal el lehet osztani, és az eredmény mindig 0.

És mennyi a 0 : 0?

A 0 : 0 egy kicsit más okból nincs értelmezve. Itt olyan számot keresünk, amelyet nullával megszorozva 0-t kapunk. Ilyen számból nem egy van, hanem végtelen sok: az 1 · 0, az 5 · 0 és a −100 · 0 is 0. Mivel nincs egyetlen, egyértelmű eredmény, a 0 : 0-t sem értelmezzük. A felsőbb matematikában az ilyen eseteket határozatlan alaknak nevezik.

Mi történik, ha egyre kisebb számmal osztunk?

Sokan azt gondolják, hogy a nullával való osztás eredménye a végtelen. Nézzük meg, mi történik, ha az 1-et egyre kisebb pozitív számmal osztjuk: 1 : 0,1 = 10, 1 : 0,01 = 100, 1 : 0,001 = 1000. Minél közelebb van az osztó a nullához, annál nagyobb a hányados, minden határon túl.

Ha viszont negatív oldalról közelítünk, például 1 : (−0,001) = −1000, a hányados a mínusz végtelen felé tart. A két irányból tehát két különböző dolgot kapunk, ezért a végtelen sem lehet a 6 : 0 eredménye.

A híres „bizonyítás”, hogy 2 = 1

A nullával való osztás tilalma nem szőrszálhasogatás. Ha megengednénk, bármit be lehetne bizonyítani. A klasszikus példa:

  1. Legyen a = b, és egyik se legyen nulla.
  2. Szorozzuk meg mindkét oldalt a-val: a² = ab.
  3. Vonjuk ki mindkét oldalból a b²-et: a² − b² = ab − b².
  4. Alakítsuk szorzattá: (a + b)(a − b) = b(a − b).
  5. Osszunk (a − b)-vel: a + b = b.
  6. Mivel a = b, ebből 2b = b, és b-vel osztva 2 = 1.

A hiba az ötödik lépésben van. Mivel a = b, az a − b értéke 0, vagyis ebben a lépésben nullával osztottunk. Ettől a pillanattól kezdve az egész levezetés érvénytelen.

Számológépen, Excelben és a programokban

A Casio fx-570ES PLUS tudományos számológép nullával való osztásnál Math ERROR hibaüzenetet ad. A kézikönyv szerint ez a hiba akkor jelenik meg, ha a számítás tiltott matematikai műveletet tartalmaz, például nullával való osztást.

Az Excel magyar változatában a nullával való osztás a #ZÉRÓOSZTÓ! hibát adja. Akkor is előfordul, ha egy képlet üres vagy nulla értékű cellára hivatkozik. A Microsoft szerint a hiba elkerülhető, ha az osztást a HAHIBA függvénybe ágyazzuk, például így: =HAHIBA(A2/A3;0). Arra figyelj, hogy a HAHIBA az összes hibát elrejti, nemcsak ezt az egyet.

A programozási nyelvekben a viselkedés eltér. Sok nyelv hibát jelez és leállítja a műveletet, a lebegőpontos számításokban viszont egy nem nulla szám nullával osztva végtelent ad, a 0 : 0 pedig egy „nem szám” (NaN) értéket. Ez technikai megoldás, nem azt jelenti, hogy a matematikában értelmezve lenne a nullával való osztás.

Egy kis történelem

Brahmagupta indiai matematikus 628-ban írt művében a nullát már számként kezelte, és az egy szám önmagából való kivonásának eredményeként határozta meg. Szabályokat adott a nullával való számolásra is, de a 0 : 0-ról azt írta, hogy az eredménye 0, amit ma hibásnak tartunk. Mahávíra 830 körül úgy gondolta, hogy egy szám nullával osztva változatlan marad, II. Bhászkara a 12. században pedig végtelen mennyiségnek nevezte a nullával való osztás eredményét. A mai szabály, hogy a nullával való osztás nincs értelmezve, éppen azért alakult ki, mert ezek a megoldások ellentmondásokhoz vezetnek.

Páros szám a nulla?

Igen. Páros szám az, amely a 2 egész számú többszöröse, és a 0 = 2 · 0, tehát a nulla páros. A kérdés mégis meglepően sok embert megzavar. Egy majdnem 400 hétéves gyerekkel végzett felmérésben csak nagyjából 45%-uk mondta, hogy páros, egy 1972-es vizsgálatban pedig a leendő tanárok kétharmada tévesen azt válaszolta, hogy a nulla nem páros szám.

Gyakori hibák

  • „Ha van benne nulla, az eredmény nulla.” Csak akkor igaz, ha az egész kifejezés egyetlen szorzat. A 4 · 0 + 4 értéke 4.
  • A 0 : 5 összekeverése az 5 : 0-val. A 0 : 5 = 0, az 5 : 0 viszont nincs értelmezve.
  • „A nullával való osztás eredménye végtelen.” A végtelen nem szám, és a két irányból közelítve más-más eredmény adódna.
  • „A 0 : 0 = 1, mert minden szám önmagával osztva 1.” Ez a szabály csak a nem nulla számokra igaz.

Teszteld magad

Napi matek feladat: Te melyiket választanád?

Gyakorolni a „Nullával való szorzás, mi az eredmény?” napi feladatunkkal is tudsz.

Gyakori kérdések

Mi a szorzás 0-val? Bármely szám nullával szorozva 0, és a nulla bármely számmal szorozva is 0.

Lehet 0-val osztani? Nem. A nullával való osztás nincs értelmezve, mert nincs olyan szám, amelyet nullával megszorozva nem nulla eredményt kapnánk.

Mennyi 0 osztva 5-tel? 0, mert 0 · 5 = 0.

Mennyi 0 osztva 0-val? Nincs értelmezve, mert minden szám megfelelne eredménynek.

Mi az osztás eredménye? A hányados. Az osztásban az osztandót elosztjuk az osztóval, és az eredmény a hányados: a 20 : 5 = 4-ben a 20 az osztandó, az 5 az osztó, a 4 a hányados.

Mi az osztás jele? A magyar iskolai matematikában a kettőspont (:), emellett a törtvonal és a ferde vonal (/) is osztást jelöl. Az angol nyelvű országokban gyakori ÷ jel használatát az ISO 80000-2 szabvány nem javasolja.

Páros szám a nulla? Igen, mert 0 = 2 · 0.

Kapcsolódó feladatok és oldalak

További matekos tudnivalók a Matek rovatban: Műveleti sorrend, Vírusos matekfeladványok, Faktoriális, Képes matekrejtvények, Római számok.

Források

Írta: Popovics Ádám · Utoljára ellenőrizve: 2026. október 22.