Hatványozás: azonosságok, a nulladik és a negatív kitevő

A hatványozás ismételt szorzás: a 2³ azt jelenti, hogy a 2-t háromszor szorozzuk össze önmagával, vagyis 2 · 2 · 2 = 8. A 2 a hatványalap, a 3 a hatványkitevő, a 8 a hatványérték. A hatványozás azonosságai közül a legfontosabb, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevők összeadódnak, és hogy minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

Ezen az oldalon egy táblázatban összefoglaljuk a hatványozás azonosságait, példákkal megmutatjuk, miért működnek, elmagyarázzuk a nulladik, a negatív és a törtkitevőt, és sorra vesszük a leggyakoribb csapdákat, például azt, hogy miért nem ugyanaz a −3² és a (−3)². A végén megoldással együtt gyakorló feladatokat is találsz.

A hatványozás azonosságai egy táblázatban

Azonosság	Képlet	Példa
Azonos alapú hatványok szorzása	aⁿ · a^m = a^n+m	2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Azonos alapú hatványok osztása	aⁿ : a^m = a^n−m (a ≠ 0)	10⁵ : 10² = 10³ = 1000
Hatvány hatványa	(aⁿ)^m = a^n·m	(2³)² = 2⁶ = 64
Szorzat hatványa	(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000
Hányados hatványa	(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ (b ≠ 0)	(6 : 3)² = 36 : 9 = 4
Nulladik hatvány	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	7⁰ = 1
Negatív kitevő	a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0)	2⁻³ = 1/8
Törtkitevő	a^1/n = az a n-edik gyöke (a ≥ 0)	8^1/3 = 2

Miért működnek az azonosságok?

Az azonosságokat nem kell bemagolni, mert mindegyik következik a hatvány definíciójából. Ha a 2³-t megszorozzuk a 2⁴-nel, akkor valójában három kettest szorzunk össze négy másik kettessel, vagyis összesen hét kettes szerepel a szorzatban: 2³ · 2⁴ = 2⁷. Ezért adódnak össze a kitevők.

Az osztásnál a közös tényezők kiesnek. A 10⁵ : 10²-ben öt tízesből kettő egyszerűsödik, három marad, így az eredmény 10³. A hatvány hatványánál a (2³)² azt jelenti, hogy a 2 · 2 · 2 szorzatot kétszer írjuk le egymás mellé, ez hat kettes, tehát 2⁶. A szorzat hatványánál pedig a tényezők sorrendje felcserélhető: (2 · 5)³ = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 = 2³ · 5³.

Miért 1 a nulladik hatvány?

Nézzük meg, mi történik, ha a kitevőt egyesével csökkentjük: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Minden lépésben 2-vel osztunk. Ha a mintát folytatjuk, a következő lépés 2 : 2 = 1, tehát 2⁰ = 1. Ugyanezt adja az osztás azonossága is: 2³ : 2³ = 2⁰, ugyanakkor bármely nem nulla szám önmagával osztva 1.

A matematikusok azért egyeztek meg abban, hogy a nulladik hatvány 1, mert így az azonosságok a nulla kitevőre is érvényesek maradnak. A szabály pontosan így szól: minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

És mennyi a 0⁰?

A 0⁰ kivételes eset, és nincs rá egyetlen, mindenhol elfogadott válasz. Az algebrában és a kombinatorikában általában 1-nek tekintik, mert ez sok képletet egyszerűsít, ugyanúgy, ahogy a faktoriálisnál a 0! is 1. A matematikai analízisben viszont határozatlan alaknak számít. A programozási nyelvek többsége, például a Python, 1-et ad eredményül. Az iskolai matematikában ezért szól úgy a szabály, hogy a nulladik hatvány a nem nulla számokra 1.

Negatív és törtkitevő

Ha a mintát a nulla alá is folytatjuk, megkapjuk a negatív kitevőt: 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4, 2⁻³ = 1/8. Egy nem nulla szám negatív kitevőjű hatványa tehát a reciprokának a pozitív kitevőjű hatványa. A 10⁻² például 1/100, vagyis 0,01. A negatív kitevő tehát nem negatív számot jelent: a 2⁻³ pozitív szám, 0,125.

A törtkitevő gyököt jelent. A 4^1/2 a 4 négyzetgyöke, vagyis 2, a 8^1/3 pedig a 8 köbgyöke, szintén 2. Ez is az azonosságokból következik: (4^1/2)² = 4¹ = 4, tehát a 4^1/2 olyan szám, amelynek a négyzete 4.

A −3² csapdája

A −3² és a (−3)² nem ugyanaz. Az írott matematikában a −3² azt jelenti, hogy előbb a 3-at emeljük négyzetre, és csak utána vesszük az ellentettjét: −(3²) = −9. Ha a negatív számot szeretnénk négyzetre emelni, zárójelet kell tenni: (−3)² = 9.

A gépek ebben nem egységesek. A Casio fx-570ES PLUS kézikönyve szerint a gép a hatványt a negatív jel előtt számolja ki, ezért a −2² eredménye nála −4, és a kézikönyv azt javasolja, hogy a negatív értékeket mindig tegyük zárójelbe. Az Excelben viszont fordítva van: a =-2^2 képlet 4-et ad, mert ott a negatív előjel erősebb a hatványozásnál, a =0-2^2 viszont már −4. Ha bizonytalan vagy, írj zárójelet. A műveleti sorrend többi szabályát a Műveleti sorrend oldalon magyarázzuk el.

Egy hasznos szabály a negatív alapra: páros kitevőnél az eredmény pozitív, páratlannál negatív. A (−2)⁴ = 16, a (−5)³ viszont −125.

Hatványtorony: melyik kitevővel kezdjük?

Ha több kitevő áll egymás fölött, felülről lefelé számolunk. A 2³² ezért 2⁹ = 512, és nem (2³)² = 64. Azt is érdemes megjegyezni, hogy a hatványozásban az alap és a kitevő nem cserélhető fel: a 2³ = 8, a 3² viszont 9.

A normálalak: nagyon nagy és nagyon kicsi számok

A tíz hatványaival a nagyon nagy és a nagyon kicsi számokat is röviden le lehet írni. A normálalakban a számot egy 1 és 10 közé eső szám és a 10 egy hatványának szorzataként írjuk fel: a 3 000 000 = 3 · 10⁶, a 0,0005 pedig 5 · 10⁻⁴. A fizikában és a kémiában így szerepel például az Avogadro-szám, 6,022 · 10²³, vagy az elektron tömege, körülbelül 9,109 · 10⁻³¹ kg. A számológépek a normálalakot gyakran E betűvel jelzik: a 6.022E23 ugyanazt jelenti, mint a 6,022 · 10²³.

A sakktábla és a búzaszemek

A hatványozás erejét egy régi legenda mutatja meg a legjobban. A sakk feltalálója jutalmul azt kérte, hogy a sakktábla első mezőjére tegyenek egy búzaszemet, a másodikra kettőt, a harmadikra négyet, és így tovább, minden mezőn duplázva. Ez szerény kérésnek tűnik, de a 64. mezőre már 2⁶³ szem jutna, az egész táblára pedig összesen 2⁶⁴ − 1, vagyis 18 446 744 073 709 551 615 búzaszem. A Wikipédia számítása szerint ez több mint 1400-szorosa a világ búzatermésének. A történetet a ma ismert források közül elsőként Ibn Hallikán jegyezte le 1256-ban.

Egy kis történelem

A kitevő szót, latinul exponens, Michael Stifel német matematikus vezette be 1544-ben. A ma használt jelölés, amelyben a kitevőt kisebb betűvel a szám jobb felső sarkába írjuk, René Descartes-tól származik: a La Géométrie című művében az a², a³ alakot használta.

Gyakorló feladatok megoldással

3⁴ = ?
2⁵ · 2³ = ?
5⁶ : 5⁴ = ?
(10²)³ = ?
4⁻² = ?
(−2)³ + 2⁰ = ?
−2² + (−2)² = ?
27^1/3 = ?

Megoldások: 1. 81. 2. 2⁸ = 256, mert a kitevők összeadódnak. 3. 5² = 25, mert a kitevők kivonódnak. 4. 10⁶ = 1 000 000, mert a kitevők összeszorzódnak. 5. 1/16. 6. −8 + 1 = −7. 7. −4 + 4 = 0. 8. 3, mert 3 · 3 · 3 = 27.

Gyakori hibák

A kitevővel szorozni: a 2³ nem 2 · 3 = 6, hanem 2 · 2 · 2 = 8.
Szorzásnál összeszorozni a kitevőket: a 2³ · 2⁴ nem 2¹², hanem 2⁷. Összeszorozni csak a hatvány hatványánál kell.
„A nulladik hatvány nulla”: a 7⁰ nem 0, hanem 1.
A zárójel elhagyása: a −3² = −9, a (−3)² = 9.
Összeg hatványának tagonkénti hatványozása: a (3 + 4)² nem 3² + 4² = 25, hanem 7² = 49. Az azonosság csak szorzatra és hányadosra igaz, összegre és különbségre nem.