Faktoriális: mit jelent a felkiáltójel a szám mögött?

A faktoriális jele a szám mögé írt felkiáltójel: az n! (olvasd: n faktoriális) az 1-től n-ig terjedő pozitív egész számok szorzata. Így 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 5! = 120, a 0! pedig megállapodás szerint 1. A faktoriálist a műveleti sorrendben a szorzás előtt számoljuk ki, ezért 1 + 2 · 3! = 13.

A faktoriális két helyen bukkan fel a leggyakrabban: a kombinatorikában, amikor azt számoljuk, hányféle sorrendben rakhatunk sorba dolgokat, és a vírusos matekfeladványokban, ahol a felkiáltójel sokakat megtéveszt, mert írásjelnek nézik. Ezen az oldalon mindkettőt végigvesszük, példákkal.

A faktoriális értékei 0-tól 10-ig

n	Számítás	n!
0	megállapodás szerint	1
1	1	1
2	1 · 2	2
3	1 · 2 · 3	6
4	1 · 2 · 3 · 4	24
5	4! · 5	120
6	5! · 6	720
7	6! · 7	5 040
8	7! · 8	40 320
9	8! · 9	362 880
10	9! · 10	3 628 800

A táblázatból látszik egy hasznos összefüggés: minden faktoriális az előzőnek és a számnak a szorzata, vagyis n! = (n − 1)! · n. Ha tudod, hogy 5! = 120, a 6!-hoz elég 120-at megszorozni 6-tal.

Miért 0! = 1?

Elsőre furcsának tűnik, hogy a nulla faktoriálisa nem nulla, hanem egy. Ennek három, egymást erősítő magyarázata van.

Az előző összefüggésből: ha az n! = (n − 1)! · n képletbe n = 1-et írunk, azt kapjuk, hogy 1! = 0! · 1. Mivel 1! = 1, a 0!-nak is 1-nek kell lennie, különben a képlet nem működne.
Az üres szorzatból: ha nincs mit összeszorozni, az eredményt 1-nek tekintjük, ahogy az üres összeget 0-nak. Ez a matematikában általános megállapodás.
A sorrendekből: a faktoriális azt adja meg, hányféle sorrendben rakhatunk sorba dolgokat. Nulla dolgot pontosan egyféleképpen lehet sorba rakni: sehogy, és ez egy lehetőség.

Hol áll a faktoriális a műveleti sorrendben?

A faktoriális a hatványozáshoz hasonlóan a szorzás és az osztás előtt következik, és csak arra a számra vonatkozik, amely közvetlenül előtte áll. A tudományos számológépek is így számolnak: a Casio magyar nyelvű kézikönyve a faktoriálist a hatványozással egy szintre, a szorzás és az osztás elé sorolja.

1 + 2 · 3! = 13: előbb 3! = 6, utána 2 · 6 = 12, végül 1 + 12 = 13.
2 · 3! = 12, de (2 · 3)! = 720: zárójel nélkül csak a 3-ra vonatkozik a felkiáltójel.
3! + 3! = 12, de (3!)! = 720: a zárójeles alakban a 6-nak vesszük a faktoriálisát.

A vírusos feladványokban a leggyakoribb hiba, hogy a felkiáltójelet egyszerű írásjelnek tekintik. Ha a szám mögött felkiáltójel áll, az matematikai jelölés, és a faktoriálist jelenti. A műveleti sorrend többi szabályát a Műveleti sorrend oldalon, a hasonló feladványokat a Vírusos matekfeladványok oldalon találod.

Mire használjuk? A sorrendek száma

A faktoriális legfontosabb jelentése: n különböző dolgot pontosan n!-féle sorrendben lehet sorba rakni. Ezt nevezi a kombinatorika ismétlés nélküli permutációnak.

Az 1, 2, 3 számokat 3! = 6 sorrendben írhatjuk le: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Négy betűt, például a, b, c, d-t, 4! = 24 sorrendben.
Öt embert öt széken 5! = 120-féleképpen lehet leültetni.
Egy 52 lapos kártyapakli lehetséges sorrendjeinek száma 52!, ami nagyjából 8 · 10⁶⁷, egy 68 jegyű szám.

Faktoriális a lottóban: hányféle szelvény létezik?

A faktoriális nemcsak a sorrendek számolásánál hasznos, hanem akkor is, ha azt kérdezzük, hányféleképpen választhatunk ki néhány dolgot egy nagyobb csoportból úgy, hogy a sorrend nem számít. Ezt a kombinatorika ismétlés nélküli kombinációnak nevezi, és a képlete három faktoriálisból áll: n! / (k! · (n − k)!), ahol n az összes elem száma, k pedig a kiválasztottaké.

Az ötöslottóban 90 számból húznak ki ötöt. A képletbe helyettesítve 90! / (5! · 85!) adódik, ami pontosan 43 949 268. Ennyiféle szelvényt lehet kitölteni, és ezek közül csak egyetlen egy lesz telitalálatos. Aki biztosra akarna menni, annak majdnem 44 millió különböző mezőt kellene megjátszania.

Milyen gyorsan nő a faktoriális?

A faktoriális döbbenetesen gyorsan nő. A 10! már 3 628 800, ami pontosan annyi másodperc, mint 6 hét. A 13! meghaladja a 6 milliárdot (6 227 020 800), a 20! pedig egy 19 jegyű szám. A 70! az első faktoriális, amely nagyobb egy googolnál, vagyis a 10¹⁰⁰-nál.

Ez a számológépeken is látszik. A Casio fx-570ES PLUS kézikönyve szerint a gép legfeljebb 9,999999999 · 10⁹⁹ nagyságú eredményt tud kezelni, ezért a faktoriálist csak 0 és 69 között számolja ki. A 70!-ra már hibaüzenetet kapsz, mert nagyobb a googolnál.

Szerencsére a feladatokban ritkán kell egy nagy faktoriálist teljes egészében kiszámolni. Ha két faktoriális hányadosáról van szó, a közös tényezők kiesnek, és csak néhány szorzás marad. A 10! / 8! kiszámításához például nem kell előbb a 3 628 800-at és a 40 320-at meghatározni: a 8! minden tényezője megtalálható a 10!-ban is, így csak a 9 · 10 marad, ami 90. Ugyanez a trükk működik a lottós képletnél: a 90! és a 85! hányadosából csak az utolsó öt tényező, a 86 · 87 · 88 · 89 · 90 marad meg, és ezt kell elosztani az 5!-sal, vagyis 120-szal.

Honnan ered a jelölés?

Az n! jelölést Christian Kramp francia matematikus vezette be 1808-ban, az Éléments d’arithmétique universelle című könyvében. Saját indoklása szerint azért volt rá szüksége, mert a kombinatorikai bizonyításaiban folyamatosan használta ezt a fogalmat, és szüksége volt egy rövid jelre.

Rokon fogalmak

A kettős faktoriális (n!!) nem a faktoriális faktoriálisa, hanem csak minden második szám szorzata: 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A faktoriálist a matematikusok a gamma-függvény segítségével a nem egész számokra is kiterjesztették, de az iskolai és a kvízfeladatokban csak a természetes számok faktoriálisával találkozol.

Gyakori hibák

A felkiáltójel figyelmen kívül hagyása: az 1 + 2 · 3! nem 7, hanem 13.
0! = 0: hibás, a 0! értéke 1.
A felkiáltójel kiterjesztése az egész kifejezésre: a 2 · 3! nem (2 · 3)!, csak a 3-ra vonatkozik.
A kettős faktoriális félreértése: a 9!! nem (9!)!, hanem 945.

Teszteld magad

Matek feladat: Mit jelent a felkiáltójel a szám mögött, és miért dőlnek be a legtöbben?

Gyakori kérdések

Mit jelent a felkiáltójel a szám mögött? A faktoriálist: az 1-től a számig terjedő egészek szorzatát. 4! = 24.

Mennyi 0 faktoriális? 1.

Mennyi 1 + 2 · 3!? 13, mert 3! = 6, és a faktoriális a szorzás előtt jön.

Mennyi 10 faktoriális? 3 628 800.

Hogyan olvassuk ki az n! jelet? Úgy, hogy „n faktoriális”: az 5! kiolvasva öt faktoriális.

Miért ír ki hibát a számológép a 70!-ra? Mert az eredmény nagyobb, mint a legnagyobb szám, amelyet a gép kezelni tud. A Casio fx-570ES PLUS például a 69!-ig számol.

Mire jó a faktoriális? Megadja, hányféle sorrendben lehet n különböző dolgot sorba rakni.

Ki találta ki az n! jelölést? Christian Kramp, 1808-ban.