Egyismeretlenes egyenletek megoldása lépésről lépésre, példákkal

Az egyismeretlenes egyenletek megoldása azt jelenti, hogy megkeressük az ismeretlen, általában az x, azon értékét, amelyre az egyenlőség igaz. Elsőfokú egyenletnél öt lépés elég: bontsd fel a zárójeleket, tüntesd el a törteket a közös nevezővel szorozva, rendezd az x-es tagokat az egyik oldalra, a számokat a másikra, oszd el mindkét oldalt az x együtthatójával, végül ellenőrizz visszahelyettesítéssel. A 3x + 5 = 20 egyenlet megoldása például x = 5, mert 3 · 5 + 5 = 20.

Ezen az oldalon lépésről lépésre végigmegyünk a módszeren, hat kidolgozott példán mutatjuk meg a zárójeles és a törtes egyenleteket, megnézzük, mi a teendő, ha nincs megoldás vagy minden szám megoldás, és hogyan lesz egy szöveges feladatból egyenlet. A végén egy 10 kérdéses teszttel ki is próbálhatod magad.

Mi az egyismeretlenes egyenlet?

Egyenlet megoldása mérlegelvvel: 7x − 4 = 3x + 12, a megoldás x = 4

Az egyenlet két kifejezés egyenlősége, amelyben szerepel egy ismeretlen. Egyismeretlenes, ha csak egyféle ismeretlen van benne, például csak x. A megoldás, más néven gyök, az a szám, amelyet az x helyére írva az egyenlőség igaz lesz.

Az iskolában leggyakrabban az elsőfokú egyenletekkel találkozunk: ezekben az x csak az első hatványon szerepel, nincs benne x² vagy 1/x. Minden elsőfokú egyenlet átalakítható ax + b = 0 alakra. Ha a nem nulla, pontosan egy megoldás van: x = −b/a. Ha az a nulla, akkor vagy nincs megoldás, vagy minden szám megoldás, erről lentebb külön írunk.

A mérlegelv

Az egyenletet egy egyensúlyban lévő kétkarú mérlegként képzelhetjük el: a bal oldalon az egyik kifejezés, a jobb oldalon a másik. Az egyensúly megmarad, ha mindkét serpenyőbe ugyanazt tesszük, vagy mindkettőből ugyanazt vesszük el. Ezért szabad:

  • az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot vagy kifejezést hozzáadni, illetve mindkettőből kivonni;
  • az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozni vagy osztani.

A nullát azért kell kizárni, mert ha mindkét oldalt nullával szoroznánk, 0 = 0 maradna, és minden információ elveszne. Az elvégzett műveletet a magyar iskolai gyakorlatban az egyenlet mögé, egy függőleges vonal után szokás felírni, például így: 7x − 4 = 3x + 12 | − 3x.

Az egyenletmegoldás lépései

  1. Zárójelek felbontása. Szorozd be a zárójel előtti számot minden tagba. Ha a zárójel előtt mínusz áll, a zárójelen belül minden előjel megfordul: −(2x − 3) = −2x + 3.
  2. Törtek eltüntetése. Ha törtek vannak benne, szorozd meg az egyenlet mindkét oldalát a nevezők legkisebb közös többszörösével. Minden tagot szorozni kell, azt is, amelyik nem tört.
  3. Rendezés. A mérlegelvvel vidd az x-es tagokat az egyik oldalra, a számokat a másikra. Amit az egyik oldalon kivonsz, azt a másikon is ki kell vonni, így a tag a túloldalon ellentétes előjellel jelenik meg.
  4. Összevonás és osztás. Vond össze a tagokat, amíg ax = b alakot kapsz, majd oszd el mindkét oldalt az x együtthatójával.
  5. Ellenőrzés. Írd vissza a kapott számot az eredeti egyenletbe, és számold ki külön a bal és a jobb oldalt. Ha egyenlők, a megoldás jó.

Kidolgozott példák

1. Egyszerű egyenlet: 3x + 5 = 20. Vonjunk ki mindkét oldalból 5-öt: 3x = 15. Osszunk 3-mal: x = 5. Ellenőrzés: 3 · 5 + 5 = 20.

2. Az x mindkét oldalon: 7x − 4 = 3x + 12. Vonjunk ki mindkét oldalból 3x-et: 4x − 4 = 12. Adjunk hozzá 4-et: 4x = 16. Osszunk 4-gyel: x = 4. Ellenőrzés: a bal oldal 7 · 4 − 4 = 24, a jobb oldal 3 · 4 + 12 = 24.

3. Zárójel, előtte mínusszal: 5 − (2x − 3) = 3(x − 4). A zárójelek felbontása után: 5 − 2x + 3 = 3x − 12, vagyis 8 − 2x = 3x − 12. Adjunk hozzá mindkét oldalhoz 2x-et és 12-t: 20 = 5x. Osszunk 5-tel: x = 4. Ellenőrzés: a bal oldal 5 − (8 − 3) = 0, a jobb oldal 3 · (4 − 4) = 0.

4. Törtes egyenlet: x/2 + x/3 = 10. A nevezők legkisebb közös többszöröse 6, ezzel szorozzuk mindkét oldalt: 3x + 2x = 60. Összevonva 5x = 60, tehát x = 12. Ellenőrzés: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.

5. Törtes egyenlet zárójellel: (x + 1)/4 − (x − 2)/6 = 1. A közös nevező 12. Szorzás után: 3(x + 1) − 2(x − 2) = 12. A zárójeleket felbontva 3x + 3 − 2x + 4 = 12, összevonva x + 7 = 12, tehát x = 5. Ellenőrzés: 6/4 − 3/6 = 1,5 − 0,5 = 1.

6. Negatív megoldás: 2(x + 3) = 5x + 12. A zárójel felbontása után 2x + 6 = 5x + 12. Vonjunk ki mindkét oldalból 2x-et és 12-t: −6 = 3x, tehát x = −2. A megoldás lehet negatív szám vagy tört is, ettől még helyes. Ellenőrzés: a bal oldal 2 · 1 = 2, a jobb oldal 5 · (−2) + 12 = 2.

Ha nincs megoldás, vagy minden szám megoldás

Előfordul, hogy rendezés közben az x teljesen kiesik. Ilyenkor a megmaradt állítás dönt.

Ellentmondás, nincs megoldás. 2(x + 3) = 2x + 5. A zárójel felbontása után 2x + 6 = 2x + 5, majd 2x-et kivonva 6 = 5. Ez sosem igaz, akármi is az x, tehát az egyenletnek nincs megoldása. Felírhatjuk 0 · x = −1 alakban is: nincs olyan szám, amelyet nullával szorozva −1 jön ki.

Azonosság, minden szám megoldás. 3(x − 2) + 6 = 3x. A bal oldal 3x − 6 + 6 = 3x, tehát 3x = 3x, ami minden x-re igaz. Az ilyen egyenletet azonosságnak nevezzük. Átrendezve 0 · x = 0 alakot kapunk, és ennek minden valós szám megoldása.

Ha az x a nevezőben van: kikötés

Ha az ismeretlen a nevezőben szerepel, először ki kell kötni, hogy a nevező nem lehet nulla, hiszen nullával nem lehet osztani. Például a 6/x = 2 egyenletnél a kikötés x ≠ 0. Mindkét oldalt x-szel szorozva 6 = 2x, tehát x = 3, és ez megfelel a kikötésnek.

A kikötés nem formalitás. Az x/(x − 2) = 2/(x − 2) egyenletnél a kikötés x ≠ 2. Ha mindkét oldalt (x − 2)-vel szorozzuk, x = 2 adódik, ez azonban éppen a tiltott érték. Az ilyen, átalakítás közben „becsúszó” értéket hamis gyöknek nevezzük. Ennek az egyenletnek tehát nincs megoldása. Ha olyan kifejezéssel szorzunk, amely nulla is lehet, hamis gyököt kaphatunk, és ezt csak a kikötés vagy az ellenőrzés szűri ki.

Szöveges feladatból egyenlet

A legtöbb szöveges feladat úgy oldható meg, hogy a keresett mennyiséget x-szel jelöljük, és a szövegben leírt összefüggést egyenletként írjuk fel.

„Egy szám háromszorosánál 7-tel kevesebb 20. Melyik ez a szám?” Az egyenlet 3x − 7 = 20. Adjunk hozzá 7-et: 3x = 27, tehát x = 9.

„Anna most háromszor annyi idős, mint a fia. Tíz év múlva már csak kétszer annyi idős lesz. Hány évesek most?” Legyen a fiú életkora x, Annáé 3x. Tíz év múlva Anna 3x + 10, a fia x + 10 éves lesz, és az előbbi a kétszerese az utóbbinak: 3x + 10 = 2(x + 10). Ebből 3x + 10 = 2x + 20, tehát x = 10. A fiú 10, Anna 30 éves. Ellenőrzés: tíz év múlva 40 és 20, és a 40 valóban a 20 kétszerese.

A közösségi oldalakon terjedő képes rejtvények is egyenletek. Ha három alma együtt 15-öt ér, az a 3a = 15 egyenlet, amelynek megoldása a = 5. Ezekről külön oldalt írtunk: Képes matekrejtvények.

Gyakori hibák

  • Elmarad az előjelváltás. A 3x + 5 = 20 egyenletből nem 3x = 20 + 5 lesz, hanem 3x = 20 − 5, mert mindkét oldalból 5-öt vonunk ki.
  • Mínusz a zárójel előtt. A −(2x − 3) felbontva −2x + 3, nem −2x − 3.
  • Nem minden tagot szoroz a közös nevezővel. Az x/2 + 3 = 5 egyenletet 2-vel szorozva x + 6 = 10 lesz, nem x + 3 = 10.
  • Osztás olyan kifejezéssel, amely nulla is lehet. Ilyenkor megoldás veszhet el, vagy hamis gyök csúszhat be.
  • Kimarad az ellenőrzés. Egy perc az egész, és a legtöbb számolási hibát kiszűri.

Ha x² is szerepel: másodfokú egyenlet

Ha az ismeretlen a második hatványon is előfordul, másodfokú egyenletről beszélünk. Ennek általános alakja ax² + bx + c = 0, ahol a nem nulla. Itt a mérlegelv önmagában nem elég, a megoldóképletet használjuk: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. A gyök alatti b² − 4ac kifejezést diszkriminánsnak nevezzük. Ha pozitív, két különböző valós megoldás van, ha nulla, egy, ha negatív, a valós számok között nincs megoldás.

Példa: x² − 5x + 6 = 0. Itt a = 1, b = −5, c = 6, a diszkrimináns 25 − 24 = 1, a megoldások x = (5 ± 1)/2, vagyis x = 3 és x = 2. Ellenőrzés: 9 − 15 + 6 = 0 és 4 − 10 + 6 = 0.

Honnan ered az algebra szó?

Az egyenletek rendezésének módszerét már a 9. században leírta al-Hvárizmi bagdadi matematikus, aki nagyjából 780 és 850 között élt. Könyvének címe Hiszáb al-dzsabr val-mukábala. A MacTutor matematikatörténeti archívum szerint az al-dzsabr „kiegészítést” jelent, és a negatív tagok eltüntetését írja le, a mukábala pedig „kiegyenlítést”, vagyis az azonos tagok összevonását a két oldalon. Ez lényegében ugyanaz, amit ma a mérlegelvvel csinálunk. A könyv címéből ered az algebra szó.

Teszteld magad

Oldd meg az egyenleteket, aztán nézd meg a megoldást alul.

  1. 4x + 7 = 31
  2. 5x + 9 = 2x
  3. 2(x − 1) = 14
  4. 3(x + 2) − (x − 4) = 20
  5. x/4 = 7
  6. x/2 − x/5 = 3
  7. 7 − 2x = x + 1
  8. 6(x + 1) = 6x + 6
  9. 4x + 1 = 4(x + 1)
  10. (2x + 1)/3 = (x + 4)/2

Megoldás: 1. x = 6, 2. x = −3, 3. x = 8, 4. x = 5, 5. x = 28, 6. x = 10, 7. x = 2, 8. minden szám megoldás (azonosság), 9. nincs megoldás (ellentmondás), 10. x = 10.

Gyakori kérdések

Mi az egyismeretlenes egyenlet? Olyan egyenlet, amelyben egyetlen ismeretlen, például csak az x szerepel.

Mi a mérlegelv? Az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végezzük el, így az egyenlőség megmarad. Nullával szorozni és osztani nem szabad.

Hogyan ellenőrizzük a megoldást? Visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és külön kiszámoljuk a két oldalt. Ha egyenlők, a megoldás jó.

Mikor nincs megoldása az egyenletnek? Ha az x kiesik, és hamis állítás marad, például 6 = 5. Ezt ellentmondásnak nevezzük.

Mit jelent az azonosság? Olyan egyenletet, amely minden számra igaz, például 3x = 3x.

Hogyan oldunk meg törtes egyenletet? Mindkét oldalt megszorozzuk a nevezők legkisebb közös többszörösével, és utána a szokásos módon rendezünk.

Mi a különbség az elsőfokú és a másodfokú egyenlet között? Az elsőfokúban az x csak az első hatványon szerepel, és legfeljebb egy megoldás van. A másodfokúban x² is van, és legfeljebb két valós megoldás lehet.

Kapcsolódó feladatok és oldalak

További tudnivalók a Matek rovatban: Műveleti sorrend, Képes matekrejtvények, Nullával szorzás és osztás, Hatványozás.

Források

Írta: Popovics Ádám · Utoljára ellenőrizve: 2026. november 2.