Képes matekrejtvények: hamburgerek, sütemények és a rejtett csapdák

A képes matekrejtvényekben minden kép egy számot jelöl, és a sorokból kell kikövetkeztetni, melyik mennyit ér. A megoldás kulcsa három lépés: kezdd azzal a sorral, amelyben csak egyféle kép van, a kapott értéket helyettesítsd be a következő sorba, az utolsó sorban pedig tartsd be a műveleti sorrendet. A legtöbben nem a számolásnál hibáznak, hanem azért, mert nem veszik észre, hogy az utolsó sor képei megváltoztak.

Az ilyen feladványok a közösségi médiában terjednek, gyakran azzal a felirattal, hogy „csak kevesen tudják megoldani”. Valójában nem nehéz matematika van mögöttük: egy egyszerű egyenletrendszert rejtenek, amelyet általános iskolai tudással is meg lehet oldani. Ezen az oldalon lépésenként végigmegyünk a módszeren, megmutatjuk a leggyakoribb csapdákat, és azt is, hogyan számold meg, hány négyzet van egy rácsos ábrán.

Így oldd meg lépésről lépésre

Keresd meg az egyféle képből álló sort. Ha három egyforma kép összege 30, egy kép 10-et ér. Ez a kiindulópont.
Helyettesíts be sorról sorra. A már ismert értéket írd be a következő sorba, így abban csak egy ismeretlen marad. Ez ugyanaz a behelyettesítő módszer, amelyet az iskolában az egyenletrendszereknél tanulunk: az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és beírjuk a másikba.
Nézd meg alaposan a képeket. Mielőtt az utolsó sort kiszámolod, számold meg, hány darab van az egyes képeken, és vesd össze őket a korábbi sorokkal.
Tartsd be a műveleti sorrendet. Ha az utolsó sorban szorzás és összeadás is van, a szorzás jön először.
Ellenőrizd az eredményt. Helyettesítsd vissza az értékeket minden sorba. Ha mindegyik sor kijön, jól számoltál.

Egy példa hamburgerrel

Nézzük meg a módszert egy saját feladványon:

🍔 + 🍔 + 🍔 = 45
🍔 + 🍟 + 🍟 = 25
🍟 − 🥤 = 2
🥤 + 🍔 × 🍟 = ?

Az első sorban csak hamburger van, tehát egy hamburger 45 : 3 = 15. A második sorba ezt behelyettesítve 15 + két sült krumpli = 25, vagyis a két sült krumpli együtt 10-et, egy darab 5-öt ér. A harmadik sorból 5 − üdítő = 2, tehát az üdítő 3. Az utolsó sor így 3 + 15 × 5. A szorzással kezdünk: 15 × 5 = 75, ehhez adjuk hozzá a 3-at, így a helyes válasz 78.

Aki balról jobbra halad, és előbb összeadja az üdítőt meg a hamburgert, 18 × 5 = 90-et kap. Ez a rejtvény legfontosabb csapdája. Pontosan ugyanez a helyzet az október 8-i süteményes napi feladatunkban is, ahol a helyes válasz 3 + 10 × 7 = 73, és nem 91.

A négy leggyakoribb csapda

Csapda	Hogyan ismered fel?	Mit tegyél?
Kevesebb darab a képen	Az utolsó sorban egy fürtben kevesebb banán van, vagy csak fél gyümölcs látszik.	Számold meg a darabokat, és arányosan számolj.
Megváltozott kép	Az óra mást mutat, a minta, a szín vagy a pöttyök száma eltér.	Vesd össze az utolsó sor minden képét a korábbiakkal.
Műveleti sorrend	Szorzás és összeadás áll egy sorban.	Előbb szorozz, aztán adj össze.
Összetett kép	Egy figura kezében vagy fején egy másik tárgy van.	A két kép értékét add össze.

Kevesebb darab a képen. Ha a második sorban egy fürt négy banánból áll, és 4-et ér, akkor egy banán 1-et ér. Ha az utolsó sorban a fürtben csak három banán van, az már csak 3. Ugyanígy: ha egy egész kókusz 2-t ér, egy fél kókusz 1-et.

Megváltozott kép. A rejtvény készítője gyakran apró részletet változtat meg az utolsó sorban: más időt mutat az óra, kevesebb levél van a virágon, vagy más a minta. Ilyenkor a kép értéke is más, mint a korábbi sorokban.

Műveleti sorrend. A képek nem írják felül a matematika szabályait. Ha az utolsó sorban szorzás és összeadás is szerepel, ugyanúgy a szorzással kezdünk, mint számokkal. A szabályt részletesen a Műveleti sorrend oldalon magyarázzuk el.

Összetett kép. Ha egy figura egy tárgyat tart, vagy kalap van a fején, gyakran úgy kell számolni, hogy a figura és a tárgy értéke összeadódik. Ezt a rejtvény korábbi soraiból lehet kideríteni: ha a tárgy valahol önállóan is szerepel, az értékét már ismered.

A híres gyümölcsös feladvány: miért nem értettek egyet?

Az egyik legismertebb képes matekrejtvény 2016 elején járta be az internetet. A Know Your Meme gyűjtése szerint a legkorábbi ismert változata 2016. január 4-én jelent meg egy lengyel humoroldalon, a dél-afrikai IOL hírportál szerint viszont már 2015 decemberében is terjedt. Igazán ismertté január 30-án vált, amikor egy Facebook-felhasználó megosztotta: a bejegyzés több mint 172 ezer megosztást és 2,9 millió hozzászólást kapott.

A feladványban három alma összege 30 volt, így egy alma 10-et ért. A következő sorokból kiderült, hogy egy négy banánból álló fürt 4-et, egy egész kókusz 2-t ér. Az utolsó sorban azonban egy fél kókusz, egy alma és egy csak három banánból álló fürt szerepelt. Aki ezt észrevette, 1 + 10 + 3 = 14-et kapott.

A források ebben nem egyeznek. Az IOL és a FreshPlaza a 14-et tartja helyes válasznak, és hibásnak nevezi a 15-öt és a 16-ot. A Know Your Meme szerint viszont a Professor Puzzler néven ismert feladványszerző megoldása 16 volt. Kevin Bowman, a University of Central Lancashire matematikaoktatója szerint egyik megoldás sem helyesebb a másiknál: mivel nem biztos, hogy a képek pontosan egyformák, végtelen sok lehetséges válasz van. A tanulság az, hogy egy jó képes rejtvényben a rajznak egyértelműnek kell lennie, különben a vita nem a matekról szól, hanem a rajzról.

Hasonló trükkre épült Presh Talwalkar feladványa is, amelyet 2017-ben tett közzé Mind Your Decisions nevű blogján. Ebben az utolsó sor képei, egy óra, egy banánfürt és egy hatszög, mind kicsit eltértek a korábbiaktól. A Mental Floss beszámolója szerint a helyes válasz 38, és csak az jut el hozzá, aki alaposan megnézi a képeket.

Hány négyzet van a képen?

A képes rejtvények másik népszerű fajtája, amikor egy rácsos ábrán kell megszámolni a négyzeteket. A csapda itt az, hogy nemcsak a legkisebb négyzetek számítanak, hanem azok is, amelyeket több kis négyzet alkot együtt.

Egy 4 × 4-es rácsban 16 darab 1 × 1-es, 9 darab 2 × 2-es, 4 darab 3 × 3-as és 1 darab 4 × 4-es négyzet van, összesen tehát 30. Általánosan egy n × n-es rácsban a négyzetek száma 1² + 2² + … + n², vagyis n(n + 1)(2n + 1) / 6. Egy 8 × 8-as sakktáblán így 204 négyzet van. Ha a téglalapokat is számoljuk, és a négyzet is téglalap, a sakktáblán 1296 téglalapot találunk.

Rács	Négyzetek száma	Téglalapok száma (a négyzetekkel együtt)
2 × 2	5	9
3 × 3	14	36
4 × 4	30	100
5 × 5	55	225
8 × 8 (sakktábla)	204	1296

Számolási tipp: haladj méret szerint. Először számold meg a legkisebb négyzeteket, aztán a négy kis négyzetből állókat, és így tovább felfelé. Egy n × n-es rácsban a k × k-as négyzetek száma (n − k + 1)², ezért a 4 × 4-es rácsban a 2 × 2-es négyzetekből 3² = 9 darab van. Ha az ábra nem szabályos rács, például egy nagy négyzetbe kisebb négyzeteket vagy átlókat rajzoltak, a képlet nem működik, ilyenkor egyenként, rendszerezve kell számolni.

Hogyan készíts saját képes rejtvényt?

Ha tanárként, szülőként vagy csak szórakozásból szeretnél ilyen feladványt készíteni, érdemes néhány szabályt betartani. Először válaszd ki az értékeket, és írd fel őket egy papírra. Az első sor mindig csak egyféle képből álljon, így lesz biztos kiindulópont. Minden újabb sor legfeljebb egy új képet hozzon be, különben a rejtvény nem lesz egyértelműen megoldható. Ha csapdát építesz be, az legyen jól látható a rajzon, ne a nézőnek kelljen találgatnia. Végül oldd meg a saját rejtvényedet a fenti öt lépéssel: ha minden sor kijön, és csak egy megoldás lehetséges, mehet a közösségi médiába.

Gyakori hibák

Balról jobbra számolni az utolsó sorban: a 3 + 15 × 5 nem 90, hanem 78.
Nem megszámolni a darabokat: a három banánból álló fürt nem ér annyit, mint a négy banánból álló.
Azt hinni, hogy két hasonló kép ugyanannyit ér: az utolsó sor képei gyakran apró részletben eltérnek.
Négyzetszámlálásnál csak a legkisebb négyzeteket számolni: a 4 × 4-es rácsban nem 16, hanem 30 négyzet van.

Teszteld magad

Matek feladat: rövid fejtörő négyzettel, zárójellel és hamburgerre

Gyakorolni a „Meg tudod fejteni a süteményes rejtvényt?” és a „Hány négyzet van a képen?” napi feladatunkkal is tudsz.

Gyakori kérdések

Hogyan kell megoldani egy képes matekrejtvényt? Kezdd az egyféle képből álló sorral, helyettesíts be sorról sorra, számold meg a darabokat a képeken, és az utolsó sorban előbb szorozz, csak utána adj össze.

Mi a leggyakoribb csapda? Az, hogy az utolsó sor képei eltérnek a korábbiaktól: kevesebb darab, fél gyümölcs vagy más minta van rajtuk.

Számít a műveleti sorrend a képes rejtvényekben? Igen, ugyanúgy, mint a számokkal felírt feladatokban.

Hány négyzet van egy 4 × 4-es rácsban? 30.

Hány négyzet van egy sakktáblán? 204.

Mennyi a híres gyümölcsös feladvány megoldása? A legtöbb forrás szerint 14, de mivel a rajz nem egyértelmű, a 16 mellett is szólnak érvek.