Műveleti sorrend: szabályok, példák és vitatott feladványok

A műveleti sorrend azt határozza meg, milyen sorrendben végezzük el a műveleteket egy kifejezésben. Az iskolai szabály röviden: először a zárójelben lévő műveleteket, utána a hatványozást, majd a szorzást és az osztást balról jobbra, végül az összeadást és a kivonást, szintén balról jobbra.

Egyszerűnek hangzik, mégis erre épül a legtöbb vírusos matekfeladvány, amelyen a közösségi oldalakon napokig vitatkoznak. Ezen az oldalon a szabály mellett a leggyakoribb hibákat is sorra vesszük, és azt is megmutatjuk, mi a helyzet a valóban vitatott esetekkel, ahol még a számológépek sem értenek egyet.

A műveleti sorrend szabálya

Zárójel: először a zárójelen belüli műveleteket végezzük el. Ha több zárójel van egymásba ágyazva, a legbelsővel kezdünk.
Hatványozás: utána következnek a hatványok és a gyökök.
Szorzás és osztás: ezek egyenrangúak, ezért balról jobbra haladva végezzük el őket, abban a sorrendben, ahogy leírták őket.
Összeadás és kivonás: ezek is egyenrangúak, és szintén balról jobbra következnek.

A magyar iskolai jelölésben a szorzás jele a pont (·), az osztásé a kettőspont (:). A közösségi oldalakon terjedő feladványokban gyakran a × és a ÷ jel szerepel, de a szabály ugyanaz.

Egy példa lépésenként: 7 + 7 : 7 + 7 · 7 − 7. Először az osztás és a szorzás jön: 7 : 7 = 1 és 7 · 7 = 49. Marad 7 + 1 + 49 − 7, ezt balról jobbra összeadva és kivonva az eredmény 50.

Balról jobbra: a leggyakoribb hiba

Gyakori félreértés, hogy a szorzás mindig megelőzi az osztást, az összeadás pedig a kivonást. Ez nem így van: a szorzás és az osztás egyenrangú, ahogy az összeadás és a kivonás is. Az egyenrangú műveletek közül mindig az jön előbb, amelyik balra áll.

Ezért 12 : 3 · 2 = 8, nem 2, mert előbb 12 : 3 = 4, és csak utána szorzunk kettővel. Ugyanígy 10 − 4 − 3 = 3, nem 9. Ha valaki a jobb oldali műveletet végezné el előbb, az már egy másik kifejezés lenne, amelyet zárójellel kellene jelölni: 10 − (4 − 3) = 9.

Kifejezés	Helyes eredmény	Gyakori rossz válasz	Hol csúszik el?
2 + 2 · 2	6	8	A szorzás az összeadás előtt jön.
12 : 3 · 2	8	2	Szorzás és osztás balról jobbra.
10 − 4 − 3	3	9	Kivonás balról jobbra.
8 : 4 : 2	1	4	Osztás balról jobbra.
3 − 3 · 6 + 2	−13	2	Előbb 3 · 6 = 18, utána 3 − 18 + 2.
−3²	−9	9	A hatvány a 3-ra vonatkozik, nem a −3-ra.

Hatványok és negatív számok

A −3² kifejezés értéke −9, mert a hatványozás megelőzi az előjelet: előbb 3² = 9, és ennek vesszük az ellentettjét. Ha a −3-at szeretnénk négyzetre emelni, zárójelet kell tenni: (−3)² = 9. A tudományos számológépek ugyanígy számolnak, a Casio magyar nyelvű kézikönyve például kifejezetten azt tanácsolja, hogy negatív szám hatványozásakor tegyük zárójelbe a számot.

Van azonban egy fontos kivétel. A Microsoft Excelben az ellentett képzése megelőzi a hatványozást, ezért a =-2^2 képlet eredménye 4, nem −4. Ha táblázatkezelőben dolgozol, ezt érdemes fejben tartani.

Az egymásra írt hatványokat felülről lefelé számoljuk ki: ha a 2 kitevőjében 3² áll, akkor az 2⁹ = 512, és nem (2³)² = 64.

Mennyi 6 : 2(1 + 2)? A vitatott feladványok

Ez a feladvány évek óta újra és újra körbejár, és két válasz versenyez rajta: a 9 és az 1. A zárójelben 1 + 2 = 3, ebben mindenki egyetért. A vita azon múlik, mi következik utána.

9: a 2(3) ugyanazt jelenti, mint a 2 · 3, ezért a kifejezés 6 : 2 · 3. Az osztás és a szorzás egyenrangú, balról jobbra haladva 6 : 2 = 3, majd 3 · 3 = 9. Az iskolai szabály szerint ez a helyes válasz.
1: egy másik szokás szerint a szorzásjel nélküli szorzás, mint a 2(1 + 2), szorosabban köt, ezért előbb azt számoljuk ki: 2 · 3 = 6, majd 6 : 6 = 1. Ezt a felfogást nem a gyerekek találták ki. A Physical Review fizikai folyóirat szerzői útmutatója például kimondja, hogy a szorzás megelőzi az osztást, és több Casio számológép is ugyanígy számol.

2019-ben a hasonló 8 : 2(2 + 2) feladvány annyira elterjedt, hogy a New York Times is írt róla. A megkérdezett matematikusok szerint a kifejezés szándékosan félreérthető, a jelölés a hibás, nem a számolók. Ugyanerre jut az angol nyelvű Wikipédia is: a 8 : 2(2 + 2) egyik olvasata szerint 1, a másik szerint 16.

A Keresztlabda feladataiban az iskolai szabályt követjük, tehát a 6 : 2(1 + 2) válasza nálunk 9. Ha valódi számításról van szó, a legjobb megoldás a zárójel: a (6 : 2) · (1 + 2) és a 6 : (2 · (1 + 2)) már nem hagy kétséget. A törtvonal ugyanígy csoportosít: a számláló és a nevező egy-egy egységként viselkedik.

Miért ad mást a számológép?

A számológépek nem egyformán követik a műveleti sorrendet. Az egyszerű, négyalapműveletes gépek egy része minden műveletet rögtön elvégez, ahogy beütöd, ezért az 1 + 2 × 3 eredményének 9-et mutat, nem 7-et. A tudományos számológépek már a műveleti sorrend szerint számolnak, de a részletekben ezek is eltérnek.

A Casio fx-570ES PLUS és fx-991ES PLUS magyar nyelvű kézikönyve szerint ezek a gépek a szorzásjel nélküli szorzást a × és a ÷ előtt végzik el, ezért a 6 ÷ 2(1 + 2) eredménye rajtuk 1. A Texas Instruments gépei az angol Wikipédia szerint 1996 óta az ilyen kifejezéseket balról jobbra olvassák. Ha bizonytalan vagy, hogyan értelmezi a géped a kifejezést, tegyél ki zárójelet.

PEMDAS, BODMAS és egy magyar emlékeztető

Az angol nyelvű iskolákban rövidítéssel tanítják a sorrendet. Az Egyesült Államokban a PEMDAS terjedt el (Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction), az Egyesült Királyságban és több nemzetközösségi országban a BODMAS vagy a BIDMAS. A rövidítés betűsorrendje félrevezető lehet: a PEMDAS-ban az M megelőzi a D-t, mégsem jelenti azt, hogy a szorzás előbb jön, mint az osztás.

Magyarul nincs elterjedt rövidítés, de egy saját emlékeztető segíthet: Zebra Hajnalban Szundít Öregesen, vagyis zárójel, hatvány, szorzás és osztás, összeadás és kivonás.

Teszteld magad

Matek feladat: Egy sor, szorzásjel nélkül. Mennyi az eredmény?

Gyakori kérdések

Mi a műveleti sorrend? Zárójel, hatványozás, szorzás és osztás balról jobbra, végül összeadás és kivonás balról jobbra.

Előbb szorzunk vagy osztunk? Egyiket sem előbb: a szorzás és az osztás egyenrangú, ezért balról jobbra haladunk.

Mennyi 2 + 2 · 2? 6, mert a szorzás az összeadás előtt jön.

Mennyi 6 : 2(1 + 2)? Az iskolai szabály szerint 9. A szorzásjel nélküli szorzást előre vevő felfogás szerint 1, ezért a feladvány jelölése félreérthető.

Mennyi −3²? −9. A (−3)² viszont 9.

Mit jelent a PEMDAS? A műveleti sorrend angol rövidítése: zárójel, hatvány, szorzás és osztás, összeadás és kivonás.

Kapcsolódó feladatok és oldalak

További matekos tudnivalókat a Matek rovatban találsz, a többi témát a Tudástár főoldalán.

Források

Írta: Popovics Ádám · Utoljára ellenőrizve: 2026. október 16.

Ne maradj le a kvízeinkről!

Elsők között a Google-ben Állítsd be egy kattintással Értesítés új kvízről A Google app szól